와이블 분포로 예측하는 저장탄약의 미래

서론

탄약은 대표적인 장기 저장 군수품으로 제조 후 수년에서 수십 년에 걸쳐 저장 및 운용된다. 저장기간 동안 적절한 성능을 유지하는 것은 전투력 유지뿐만 아니라 운용 안정성 확보 측면에서도 매우 중요한 요소이다. 그러나 시간이 경과함에 따라 추진제, 신관, 폭약 등 탄약을 구성하는 주요 부품은 물리적·화학적 열화가 누적될 수 있으며, 이는 불발이나 기능저하와 같은 성능 이상으로 이어질 가능성이 있다. 따라서 저장기간에 따른 성능 변화를 지속적으로 확인하고 적절한 품질관리 방안을 마련하는 것은 탄약 운용기관과 품질보증기관 모두에게 중요한 과제이다.

현재 저장탄약의 품질 상태는 저장탄약신뢰성평가 라는 절차로 정기적인 사격시험과 각종 성능시험을 통해 확인되고 있다. 이러한 시험은 해당 시점에서 탄약의 기능과 안전성을 직접 확인할 수 있다는 점에서 가장 신뢰성 높은 평가 방법으로 활용되고 있다. 그러나 대부분의 시험 결과는 합격 여부 또는 불발률과 같은 단편적인 지표로 관리되는 경우가 많으며, 시험이 종료된 이후에는 결과가 개별 이력으로만 축적되고 있다.

하지만 이러한 데이터를 체계적으로 분석할 수 있다면 현재의 품질 상태를 확인하는 수준을 넘어 향후 저장기간 증가에 따른 불발률 변화까지 예측할 수 있으며, 저장수명 설정 등 품질관리 업무에도 효과적으로 활용될 수 있을 것이다.

이러한 예측 분석을 위해 활용할 수 있는 대표적인 통계기법이 와이블(Weibull) 분포이다. 와이블 분포는 시간에 따른 고장 특성을 분석하고 미래의 고장확률을 예측하기 위해 항공, 자동차, 발전설비 등 다양한 산업 분야에서 폭넓게 활용되고 있는 신뢰성 분석 기법이다. 저장기간이 증가함에 따라 성능 저하가 누적되는 탄약의 특성 역시 와이블 분포의 적용 대상이 될 수 있으며, 축적된 사격데이터를 이용하여 저장기간별 불발률을 정량적으로 예측하는 데 효과적으로 활용될 수 있다.

따라서, 본 기고에서는 와이블 분포의 기본 개념과 모수 추정 방법을 살펴보고 사격데이터를 활용하여 저장기간에 따른 불발률을 예측하는 절차를 소개하고자 한다.

와이블 분포란?

와이블 분포는 시간의 경과에 따른 고장 발생 특성을 분석하고 제품의 신뢰성과 수명을 예측하기 위해 가장 널리 활용되는 확률분포 중 하나로 1939년 스웨덴의 공학자 Waloddi Weibull에 의해 제안되었다.

와이블 분포는 일반적으로 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)와 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)로 표현할 수 있다. 확률밀도함수는 특정 시점에서 고장이 발생할 상대적인 가능성을 나타내는 함수로, 시간에 따른 고장 발생 양상을 분석하는 데 활용된다. 반면 누적분포함수는 특정 시점까지 고장이 발생할 누적확률을 나타내며, 시간의 경과에 따라 고장확률이 어떻게 증가하는지를 표현한다. 따라서 제품의 수명 예측이나 신뢰성 분석에서는 누적분포함수가 보다 직관적으로 활용되는 경우가 많다.

일반적인 기계부품은 사용 중 고장이 발생하는 시점을 지속적으로 관측할 수 있으므로 고장시간(Time-to-Failure)을 이용한 확률밀도함수 기반 분석이 가능하다. 그러나 저장탄약은 일정 기간 저장된 후 특정 시점에서 단 한 번의 사격시험을 통해 정상 작동 여부를 확인하는 원샷 시스템(One-shot System)에 해당한다. 즉, 저장탄약은 고장이 발생한 정확한 시점을 관측하는 것이 아니라, 특정 저장기간에서 정상 또는 불발 여부만 확인할 수 있는 특성을 가진다.

이러한 원샷 시스템의 특성으로 인해 저장기간별 사격시험에서 산출된 불발률은 특정 저장기간까지 열화가 누적되어 불발이 발생한 확률로 해석할 수 있으며, 이는 와이블 분포의 누적분포함수와 직접적으로 대응된다. 따라서 저장연도별 사격데이터를 이용하여 저장기간별 불발률을 구축하면 이를 누적분포함수에 적합하여 저장탄약의 신뢰성 모델을 구축할 수 있다. 와이블 분포의 누적분포함수 식은 다음과 같다.

와이블 분포의 가장 큰 특징은 형상모수(shape parameter, )와 척도모수(scale parameter, ) 두 개의 모수만으로 다양한 형태의 고장 특성을 표현할 수 있는 점이다.

형상모수는 시간에 따른 고장 발생 형태를 나타내며 제품 수명주기를 설명하는 욕조곡선과 밀접한 관계가 있다. 욕조곡선은 다음의 세 단계로 구성되며, 형상모수 값에 따라 제품이 현재 어느 고장 특성을 나타내는지 해석할 수 있다.

① 초기 고장 기간

• 형상모수가 1보다 작은 경우
• 고장률이 서서히 감소하는 기간
• 초기고장 및 설계 및 제조 결함
• 운송 중 파손 등

② 우발 고장 기간

• 형상모수가 1인 경우
• 가장 낮고 일정한 고장률
• 인적오류, 과중한 부하 등

③ 마모 고장 기간

• 형상 모수가 1보다 큰 경우
• 고장률이 증가하는 기간
• 부식, 산화 등 마모 고장

한편, 척도모수는 제품의 특성수명을 나타내는 지표로 저장기간에 따른 신뢰성 수준을 비교하는 기준으로 활용된다. 척도모수가 클수록 분포가 오른쪽으로 더 넓게 퍼지는 경향을 보이며 이는 제품의 성능이 상대적으로 오랜 기간 유지되는 것으로 해석할 수 있다.

결국 저장탄약 사격시험 데이터에 와이블 분포를 적용할 경우, 가장 큰 장점은 단순히 현재의 불발률을 계산하는 데 그치지 않고, 저장기간에 따른 불발률을 하나의 신뢰성 모델로 표현할 수 있다는 점이다. 즉, 현재까지 확보된 사격시험 데이터를 기반으로 와이블 모수를 추정하면 마모 고장 기간과 같은 고장 발생 형태와 척도모수를 통한 신뢰성 정도를 예측하여 저장수명 설정, 예방적 품질관리 등 다양한 의사결정에 객관적인 근거를 제공할 수 있다.

저장연도별 사격데이터 구축

실제 데이터에 와이블 분포를 적용하기 위해서는 먼저 저장연도별 사격시험 결과를 수집하여 분석 데이터를 구축한다. 사격시험 결과에는 일반적으로 저장기간, 시험수량 및 불발수량 등의 정보가 포함되어 있으며, 이를 이용하여 저장기간별 불발률을 산출할 수 있다. 탄약은 원샷 시스템으로 저장기간이 증가함에 따라 열화가 누적되고 사격시험 전까지는 고장상태를 확인할 수 없는 특성을 가지므로, 저장기간별 불발률은 저장기간에 따른 누적 불발확률을 나타내는 데이터로 활용될 수 있다. 즉, 저장연도별 사격데이터는 단순한 시험 결과가 아니라 저장기간에 따른 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)를 구성하는 기초 자료가 된다.

이와 같이 구축된 누적 불발확률 데이터가 와이블 분포에 적합하다면 형상모수와 척도모수를 추정할 수 있으며, 이를 통해 저장기간에 따른 불발률을 정량적으로 분석할 수 있다.

적합성 평가

데이터가 산출되면 해당 데이터가 와이블 분포에 적합한지 검정하기 위한 적합성 평가를 수행한다. 이는 예측모델의 신뢰성을 확보하기 위한 필수적인 과정으로, 적합성이 확보되지 않은 상태에서 수행된 예측은 실제 저장 탄약의 신뢰성을 정확하게 반영하기 어렵다.

적합성 평가 방법에는 대표적으로 와이블 분포의 일치 정도를 시각적으로 확인할 수 있는 와이블 확률지(Probability Plot)를 확인하는 방법이 있다.

와이블 확률지를 통해서 적합성을 평가하는 방법은 앞서 언급한 와이블 분포 누적 분포 함수식의 양변에 로그-로그 변환을 취하여 Y=aX+b 형태의 직선 함수 형태로 표현하여 데이터가 직선에서 얼마나 벗어나는가를 확인하는 방법으로 변환된 함수는 다음과 같다.

위의 식의 좌변을 Y, lnt를 X로 설정하여 확률지 상의 선형성를 확인할 수 있다. 만약, 해당 데이터가 직선에서 크게 벗어나는 경우에는 와이블 분포가 데이터의 특성을 충분히 반영하지 못하거나 이상치의 영향을 받을 가능성을 고려할 필요가 있다.

와이블 분포 모수 추정

데이터의 적합성 평가이 완료된 후, 와이블 분포의 형상모수와 척도모수를 추정할 수 있다. 본 기고에서는 가장 대표적인 산출방법인 최대우도추정법(Maximum Likelihood Estimation, MLE)를 소개한다.

최대우도추정법은 실제 관측된 사격시험 결과가 특정 통계모형에서 나타날 가능성, 즉 우도(Likelihood)를 가장 크게 만드는 모수를 찾는 방법이다. 쉽게 말해, 여러 가지 형상모수와 척도모수의 조합 중에서 실제 사격시험을 통해 관측된 저장기간별 불발률을 가장 그럴듯하게 설명하는 조합을 선택하는 과정이다. 와이블 분포는 모수에 따라 곡선의 형태와 증가 양상이 달라지므로, 실제 사격데이터에 가장 잘 맞는 모수를 추정하는 과정은 불발률 예측의 핵심단계라 할 수 있다.

실무에서는 Minitab, Python 등 다양한 통계 분석 도구를 활용하여 최대우도추정법에 의한 와이블 모수 추정이 가능하므로 신뢰성 분석 절차를 효율적으로 수행할 수 있게 한다.

추정된 형상모수는 저장기간 증가에 따라 불발 발생 가능성이 어떻게 변화하는지를 나타낸다. 형상모수가 1보다 크면 욕조곡선의 마모 고장 기간에 해당되며, 저장기간 증가에 따른 열화 누적, 즉 마모고장 특성이 나타나는 것으로 해석할 수 있다. 반면 척도모수는 와이블 분포의 시간축을 결정하는 모수로 누적 불발확률이 약 63.2%에 도달하는 저장기간을 의미한다. 따라서 두 모수를 함께 해석하면 저장탄약의 불발 발생 양상과 저장기간에 따른 신뢰성 수준을 정량적으로 평가할 수 있다.

실제 사격데이터 적용을 통한 활용 가능성 검토

본 기고에서 제안한 와이블 분포 기반 불발률 예측 방법의 활용 가능성을 확인하기 위하여 실제 저장탄약 사격데이터를 대상으로 와이블 분포를 적용하여 분석을 수행하였다. 분석 대상은 장기간 저장된 ○○mm 고폭탄의 사격 시험결과로, 저장연도별 시험수량과 불발수량을 이용하여 저장기간에 따른 불발률 데이터를 구축하였다.

먼저, 데이터의 와이블 분포 적합성을 확인하기 위해 와이블 확률지를 통해 적합성 평가를 수행하였다. 적합성 평가를 위해 데이터를 타점한 결과 높은 선형성을 보여 와이블 분포에 대해 높은 적합성을 나타내었으며, 이는 해당 데이터가 와이블 분포의 가정과 부합함을 시사한다.

와이블 분포지를 통해 해당 데이터가 와이블 분포에 적합함을 확인하였으며, 이에 따라 다음 단계로 와이블 분포의 모수인 형상모수와 척도모수를 추정하였다. 해당 모수를 추정하기 위하여 본 기고에서 언급한 최대우도추정법을 사용하였으며, Microsoft Excel의 Solver 기능을 활용하였다.

모수 추정결과 형상모수는 β>1로 추정되어 해당 탄약이 마모 고장 단계에 진입하였음을 확인되었으며, 추정된 척도모수는 저장탄약의 특성수명을 나타내는 지표로 활용할 수 있었으며, 저장기간에 따른 신뢰성 수준과 불발 발생 시점을 정량적으로 평가하는 기준이 될 수 있음을 확인하였다.

비록 본 분석은 ○○mm 고폭탄 한가지 탄종의 사격데이터를 대상으로 수행되었지만, 제안한 분석 절차는 저장기간별 사격시험 결과가 축적되는 다른 탄종에도 동일하게 적용할 수 있다. 따라서 사격데이터와 와이블 분포를 활용한 신뢰성 분석은 저장탄약의 수명 특성을 객관적으로 평가하고 저장수명 설정, 사격시험 계획 수립 및 품질관리 의사결정을 지원하는 데이터 기반 분석기법으로 활용될 수 있을 것으로 판단된다.

결론

저장탄약의 품질관리는 현재의 성능을 확인하는 것에 그쳐서는 안 되며, 축적된 데이터를 활용하여 미래의 신뢰성을 예측하는 방향으로 발전할 필요가 있다. 그동안 사격시험 결과는 합격 여부를 판정하고 품질 상태를 확인하는 데 주로 활용되어 왔지만, 장기간 축적된 사격데이터는 저장탄약의 열화 특성을 분석하고 불발 발생 경향을 예측할 수 있는 중요한 품질정보 자산이기도 하다.

본 기고에서는 저장탄약의 원샷 시스템 특성을 고려하여 저장기간별 불발률 데이터를 와이블 분포의 누적분포함수에 적용하고, 최대우도추정법을 이용한 모수 추정과 적합성 평가를 통해 저장기간에 따른 불발률을 예측하는 방법을 소개하였다. 또한 실제 사격데이터에 적용한 결과, 와이블 분포를 이용한 신뢰성 분석이 저장탄약의 불발 특성을 효과적으로 설명할 수 있음을 확인하였으며, 이를 통해 저장기간 증가에 따른 불발률 변화를 정량적으로 예측할 수 있는 가능성을 확인하였다.

사격데이터는 시간이 지날수록 가치가 높아지는 데이터이다. 새로운 사격시험 결과가 축적될수록 예측모델의 정확도는 향상되고, 저장탄약의 신뢰성에 대한 이해도 또한 더욱 높아질 수 있다. 이러한 데이터의 축적과 분석이 지속된다면 저장수명 평가, 사격시험 계획 수립, 품질보증 활동 등 다양한 분야에서 보다 객관적이고 과학적인 의사결정을 지원할 수 있을 것이다.

데이터 기반 품질관리는 새로운 시험을 더 많이 수행하는 것이 아니라, 이미 축적된 데이터를 더 효과적으로 활용하는 것에서 시작된다. 앞으로도 사격데이터와 신뢰성 분석기법을 연계한 다양한 연구와 활용이 이루어진다면, 저장탄약 품질관리의 객관성과 효율성을 한층 높이는 데 기여할 것으로 기대한다.